已知m，n为整数，方程x2+(n−2)n−1x+m+18＝0有两个不相等的实数根，方程x2+(n−6)n−1x+m−37＝0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．

Question

已知m，n为整数，方程x2+(n−2)√(n−1)x+m+18＝0有两个不相等的实数根，方程x2+(n−6)√(n−1)x+m−37＝0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．

Answer 1

∵√(n−1)有意义，
∴n-1≥0，即n≥1，
而n为整数，所以n≥1的整数．
又∵方程x2+(n−2)√(n−1)x+m+18＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；
又方程x2+(n−6)√(n−1)x+m−37＝0有两个相等的实数根，
∴△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，
①-②整理得：2n²-10n-47＞0，
令2n²-10n-47=0，
解得n₁=(5−√(119))/(2)，n₂=(5+√(119))/(2)，
∴n＜(5−√(119))/(2)或n＞(5+√(119))/(2)，
而n≥1的整数，
所以n＞

作业帮用户 2017-11-01

问题解析

因为√(n−1)有意义，则n-1≥0，再根据方程x2+(n−2)√(n−1)x+m+18＝0有两个不相等的实数根，则△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；又方程x2+(n−6)√(n−1)x+m−37＝0有两个相等的实数根，则△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，然后①-②，得到关于n的不等式，解之得到n的取值范围，最后找到n的最小值．

名师点评

本题考点：

根的判别式．

考点点评：

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．

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