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已知关于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0(1)试判断上述方程根的情况;(2)若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足条件的m的最小值;(3
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已知关于x的一元二次方程x 2 (2k+3)x+k 2 +3k+2=0 (1)试判断上述方程根的情况; (2)若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 的图象上,求满足条件的m的最小值; (3)已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根,BC的长为5. ①当k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形? ②当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. |
▼优质解答
答案和解析
(1)有两个不相等的实数根;(2) ;(3)①2或3;②k=3或4,周长为14和16 |
试题分析:(1)先由题意求得根的判别式△ 的值,即可作出判断; (2)设方程x 2 (2k+3)x+k 2 +3k+2=0的两个根为 , ,根据题意得 .又由一元二次方程根与系数的关系得, ,从而可得 ,再根据二次函数的性质即可求得结果; (3)①由题意可得x 1 ="k" +1,x 2 =k+2.不妨设AB=k+1,AC=k+2.再根据勾股定理即可列方程求解; ②分AC=BC=5与AB=BC=5两种情况,结合等腰三角形的性质求解即可. (1)由方程x 2 (2k+3)x+k 2 +3k+2=0,得b 2 4ac=1, 方程有两个不相等的实数根; (2)设方程x 2 (2k+3)x+k 2 +3k+2=0的两个根为 , ,根据题意得 . 又由一元二次方程根与系数的关系得, , 所以,当k= 时,m取得最小值 ; (3)①x 1 ="k" +1,x 2 =k+2.不妨设AB=k+1,AC=k+2. 斜边BC=5时,有AB 2 +AC 2 =BC 2 ,即(k+1) 2 +(k+2) 2 =25 解得k 1 =2,k 2 = 5(舍去) 当k="2" 时,△ABC是直角三角形; ② AB=k+1,AC=k+2,BC=5, 由(1)知AB≠AC 故有两种情况: (Ⅰ)当AC=BC=5时,k+2=5,k=3. ∵5、5、4能组成三角形, △ABC的周长为5+5+k+1=14 (Ⅱ)当AB=BC=5时,k+1=5,k=4. ∵5、5、6能组成三角形, △ABC的周长为5+5+k+2=16. 故△ABC的周长分别是14和16. 点评:解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系:(1) 方程有两个不相等的实数根;(2) 方程有两个相等的实数根;(3) 方程没有实数根. |
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