换底公式是怎么推导的?换底公式是高中数学必修一的重点,一直以来就是弄不明白,望高手指教…

Question

换底公式是怎么推导的?
换底公式是高中数学必修一的重点,一直以来就是弄不明白,望高手指教…

Answer 1

若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如:log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)
则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根据 对数的基本公式
log(a)(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得
log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)