将质量为m的物体在空气中竖直上抛,初速为v0,若空气阻力与物体的速度v(t)成正比,比例系数为k,g为重力加速度,当初速为V|t=0=V0时,V(t)=?(用微分求解,求分离变量法的部分详细步骤)

Question

将质量为m的物体在空气中竖直上抛,初速为v0,若空气阻力与物体的速度v(t)成正比,比例系数为k,
g为重力加速度,当初速为V|t=0=V0时,V(t)=?
(用微分求解,求分离变量法的部分详细步骤)

Answer 1

dv/dt=-(mg+kv)/m
dv=-(mg+kv)/m)dt
∫dv/(mg+kv)=∫-dt/m
根据积分形式不变性质,将左端变换
∫d(mg+kv)/k(mg+kv)=∫-dt/m
(v0--->v) (0--->t)
ln((mg+kv)/k(mg+kv0))=-kt/m
ln((mg+kv)/(mg+kv0))=-kt/m
(mg+kv)/(mg+kv0)=e^(-kt/m)
整理
v(t)=((mg+kv0)e^(-kt/m)-mg)/k