一个质量为3m的物体从地面以45°角，速率v发射，在最高点发生爆炸，变为三个质量均为m的小物体，爆炸之后瞬间三个小物体速度均沿水平方向，且中间的一个小物体速度和爆炸前没有区别

Question

一个质量为3m的物体从地面以45°角，速率v发射，在最高点发生爆炸，变为三个质量均为m的小物体，爆炸之后瞬间三个小物体速度均沿水平方向，且中间的一个小物体速度和爆炸前没有区别．已知落地的时候，最近和最远的小物体相距为d． 求：
（1）物体的最大高度h多大？
（2）爆炸后水平飞行最远的物体的初速度v₁是多大？
（3）爆炸至少使得物体系动能增加了多少．

Answer 1

（1）物体开始做斜抛运动，将斜抛运动进行分解，水平方向匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，物体从地面以45°角，速率v发射，所以竖直方向初速度为：v_y0=vsin45°=(√(2))/(2)v
最高点高度为：h=(v2y0)/(2g)=(v2)/(4g)，
（2）爆炸之后瞬间三个小物体速度均沿水平方向，即三个小物体都做平抛运动，
由于平抛运动高度相等，水平方向匀速直线运动，
已知落地的时候，最近和最远的小物体相距为d，所以根据平抛运动的规律知，最远和最近的物体的速度之差为(d)/(t)．
中间的一个小物体速度和爆炸前没有区别，所以爆炸之后瞬间中间的一个小物体速度为：v₂=v_x0=(√(2))/(2)v．
规定向右为正方向，爆炸瞬间，根据动量守恒定律得：
3m•(√(2))/(2)v=m•(√(2))/(2)v+mv₁+m（v₁-(d)/(t)）
根据平抛运动的规律得：t=√((2h)/(g))=(√(2)v)/(2g)，
v₁=(√(2)v2+√(2)dg)/(2v)
（3）动能的增加量为：△E_k=(1)/(2)m

v

2 1

+(1)/(2)m

v

2 2

+(1)/(2)m(v1−(d)/(t))2-(1)/(2)×3m

v

2 2

=(md2g2)/(2v2)，
答：（1）物体的最大高度h是(v2)/(4g)，
（2）爆炸后水平飞行最远的物体的初速度v₁是(√(2)v2+√(2)dg)/(2v)．
（3）爆炸至少使得物体系动能增加了(md2g2)/(2v2)．