已知二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

Question

已知二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

Answer 1

解法一：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴可设二次函数为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展开，得 y=ax²+2ax-3a，
顶点的纵坐标为 (−12a2−4a2)/(4a)＝−4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|-4a|=2，即a=±(1)/(2)．
所以，二次函数的表达式为y=(1)/(2)x2+x−(3)/(2)，或y=-(1)/(2)x2−x+(3)/(2)．
解法二：∵二次函数的图象过点（-3，0），（1，0），
∴对称轴为直线x=-1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或-2．
于是可设二次函数为y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函数图象过点（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-(1)/(2)，或a=(1)/(2)．
所以，所求的二次函数为y=-(1)/(2)（x+1）²+2，或y=(1)/(2)（x+1）²-2．