定义sgn（x）=1(x>0)0(x=0)-1(x<0)已知函数f（x）=ax+sgn(x)a|x|（a>0且a≠1）．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若f（1）=52，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范

Question

定义sgn（x）=

1(x>0)

0(x=0)

-1(x<0)

已知函数f（x）=a^x+(sgn(x))/(a|x|)（a>0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若f（1）=(5)/(2)，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵定义sgn（x）=

1(x>0)

0(x=0)

-1(x<0)

，函数f（x）=a^x+(sgn(x))/(a|x|)（a>0且a≠1）．
∴当x>0时，f(x)=ax+(1)/(ax)≤2，∴a^x=1，∴x=0舍去；
当x<0时，f（x）=a^x-a^x=0≤2恒成立；
当x=0时，f（x）=1≤2成立；
综上：不等式f（x）≤2的解集为（-∞，0]．
（2）∵f(1)=(5)/(2)，∴f（1）=a+(1)/(a)=(5)/(2)，
解得a=2或(1)/(2)，
∵f（2t）+mf（t）+4≥0恒成立，∴22t+(1)/(22t)+m(2t+(1)/(2t))+4≥0，
令u=2t+(1)/(2t)(t>0)，∴u∈（2，+∞），
∴u²+mu+2≥0恒成立，∴m≥-(u+(2)/(u))在u∈(2，+∞)上恒成立，
又-(u+(2)/(u))在(2，+∞)上单调递减，∴-(u+(2)/(u))<-3，
解得m≥-3．
∴实数m的取值范围是[-3，+∞）．