已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤12(x+1)2成立．（1）求a+b+c的值；（2）求a-b+c的取值范围．

Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤(1)/(2)(x+1)2成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x，
∴当x=1时，y≥2；
且当0＜x＜2时，总有y≤(1)/(2)(x+1)2成立，
故当x=1，y≤2，
∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax²+bx+c经过（1，2）点，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤(1)/(2)（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-(1)/(2)）x²-2（a-(1)/(2)）x+a-(1)/(2)≤0，（a-(1)/(2)）（x-1）²≤0，
因为0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤(1)/(2)．
根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤(1)/(2)，a-b+c=4a-2，把a的取值范围代入可得-2＜a-b+c≤0．