三角函数f(x)=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2x≥0a,b,A,B∈R证明：a²+b²≤2A²+B²≤1

Question

三角函数
f(x)=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2x≥0 a,b,A,B∈R
证明：a²+b²≤2
A²+B²≤1

Answer 1

因为aCOSx+bSINx=rCOS(x-α),r=(a^2+b^2)^0.5
ACOS2x+BSIN2x=RCOS2(x-β),R=(A^2+B^2)^0.5
于是f(x)=1-rCOS(x-α)-RCOS2(x-β)
则f(α+pi/4)=1-r/（√2）-RCOS2(α-β+pi/4)≥0
f(α-pi/4)=1-r/（√2）-RCOS2(α-β-pi/4)
=1-r/（√2）+RCOS2(α-β+pi/4)≥0
从而2（1-r/（√2））≥0
即r^2=a^2+b^2≤2
同理有f(β)=1-rCOS(β-α)-R≥0
f(β+pi)=1+rCOS(β-α)-R≥0
从而有R^2=A^2+B^2≤1