证明平行四边形对角线平方和等于四边平方和?不要用向量法和余弦定理!

Question

证明平行四边形对角线平方和等于四边平方和?
不要用向量法和余弦定理!

Answer 1

如图,在平行四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,AO=OC=AC/2,BO=OD=BD/2.从B点向对角线AC作垂线,垂足为H.在直角三角形ABH中,AB^2=AH^2+BH^2=BH^2+(AO-OH)^2 在直角三角形CBH中,BC^2=BH^2+CH^2=BH^2+(AO+OH)^2 所以,AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4BH^2+4AO^2+4OH^2 又,在直角三角形BOH中,BH^2+OH^2=BO^2 所以,AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4AO^2+4BO^2=AC^2+BD^2.即：平行四边形对角线平方和等于四边平方和.