这道题为什么均值加强不可以?已知定点A（2,0）,圆O的方程为x²+y²=8,动点M在圆O上,那么∠OMA的最大值是（）π/4（四分之“派”）我用余弦定理cos∠OMA=a²+b²-c²/2ab在a=b时取到最

Question

这道题为什么均值加强不可以?
已知定点A（2,0）,圆O的方程为x²+y²=8,动点M在圆O上,那么∠OMA的最大值是（ ）
π/4（四分之“派”）
我用余弦定理cos∠OMA=a²+b²-c²/2ab
在a=b时取到最值,结果得cos∠OMA=3/4
错在哪里了呢?

Answer 1

你用均值不等式,要先满足3个条件,而这里根本不能直接取a=b,因为a,c都是定值.
正确做法是:
a=OM=r=2√2 ,c=OA=2
cos∠OMA=(a²+b²-c²)/2ab
=(4+b²)/(4√2b)
=1/(√2b)+b/(4√2)
这里才能用,因为这两者之积为定值:
≥√2/2
即∠OMA=π/4最大.