1.证明：向量α.β.γ共面的充要条件是α×β,β×γ,γ×α共线2.化简：(α-2β+2γ)[(α-3β)×(α+2β-5γ)

Question

1.证明：向量α.β.γ共面的充要条件是α×β,β×γ,γ×α共线 2.化简：(α-2β+2γ)[(α-3β)×(α+2β-5γ)

Answer 1

以.表示内积,以*表示外积
（1）必要条件证明：
不妨设α=mβ+nγ,m,n 是数
则α×β=（mβ+nγ）×β=-nβ×γ,所以α×β,β×γ共线.
同理可证β×γ,γ×α共线.
充分性：以括号表示混合积.三向量共面等价于他们的混合积（体积）为0,用 “ .” 表示内积
不妨设α×β=k β×γ
所以（α,β,γ）=(α×β ) .γ =k β×γ.γ = k(β,γ,γ) =0
所以α.β.γ共面.
（2）(α-2β+2γ)[(α-3β)×(α+2β-5γ)=
(α-2β+2γ)[5α×β+5γ×α+15β×γ ]
=15(α,β,γ)-10(β,γ,α) +10 (γ,α,β)=(15-10+10)(α,β,γ)=15(α,β,γ)
其中(α,β,γ)是三个向量的混合积.