已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝1/2ax^2＋bx,a≠0.设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N点处的切线平行?若

Question

已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝ 1/2ax^2＋bx,a≠0.设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N点处的切线平行?若存在,求出R点横坐标：若不存在,请说明理由

Answer 1

已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝(1/2)ax^＋bx,a≠0.
（Ⅰ）若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证实C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
（Ⅰ）h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间--->
h'(x)=(1/x)-(ax+b)＜0有解
∵x＞0--->ax^+2x-1＞0有解--->a≥0显然成立
a＜0时,判别式=4+4a＞0------>a＞-1
（Ⅱ）设交点坐标为 P(2p,2p1),Q(2q,2q0),p≠q>0
--->h(2p)=h(2q)=0
即：ln(2p)-[2ap^+2bp]=0,ln(2q)-[2aq^+2bq]=0
两式相加：ln(4pq)=2[a(p^+q^)+b(p+q)]
--->2a(p^+q^)+b(p+q)=ln4+ln(pq).(1)
PQ的中点O坐标为（p+q,p1+q1)
假设,C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行
--->h'(p+q)=1/(p+q)-[a(p+q)+b]=0
--->a(p+q)^+b(p+q)-1=0
--->a(p^+q^)+b(p+q)=1-2apq.(2)
(1)(2):1,h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间,所以其导函数