求一个自然对数的积分ln[(1+x)/(1-x)]的-0.5到0.5的定积分是什么?请写完整过程

Question

求一个自然对数的积分
ln[(1+x)/(1-x)]的-0.5到0.5的定积分是什么?请写完整过程

Answer 1

首先要先知道这个积分d(xlnx)=(lnx+1)dx,即∫(lnx+1) dx=xlnx∫(ln[(1+x)/(1-x)]dx=∫([ln(1+x)-ln(1-x)]dx=∫(ln（1+x)dx-∫(ln（1+x)dx对于∫(ln(1+x)dx,可变形为∫([ln(1+x)+1-1]dx=∫[(ln(1+x)+1] d(x+1)-∫1dx=(1+x)ln(1+x)-x同理 ∫ln(1-x)dx=∫([ln(1-x)+1-1]dx=-∫[ln(1-x)+1-1]d(1-x)=-∫[(ln(1-x)+1] d(1-x)-∫1dx=-(1-x)lnx-x两式相减,带入上下限得：(3/2)ln(3/2)-(1/2)ln(1/2)+ ( 1/ 2)ln(1/2)+(3/2)ln(3/2)=0