已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若对于任意x∈R，f（x）>0恒成立，试确定负实数a的取值范围；（2）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f

Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若对于任意x∈R，f（x）>0恒成立，试确定负实数a的取值范围；
（2）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x+a，
①当a>0时，f′（x）>0，f（x）在R上单调递增，且当x→-∞时，e^x→0，ax→-∞，
∴f（x）→-∞，故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合题意；
②当a=0时，f（x）=e^x>0对x∈R恒成立，所以a=0符合题意；
③当a<0时令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），
当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）<0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）>0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上是单调递减，在（ln（-a），+∞）上是单调递增，
所以[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，
解得a>-e，又a<0，∴a∈（-e，0），
综上：a∈（-e，0]．
（2）当a=-1时，由（2）知[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
设h（x）=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，则h′（x）=e^xlnx+e^x•(1)/(x)-e^x+1=e^x（lnx+(1)/(x)-1）+1，
假设存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x₀即为方程的解，
令h′（x）=1得：e^x（lnx+(1)/(x)-1）=0，因为e^x>0，所以lnx+(1)/(x)-1=0．
令φ（x）=lnx+(1)/(x)-1，则φ′（x）=(1)/(x)-(1)/(x2)=(x-1)/(x2)，
当0<x<1时φ′（x）<0，当x>1时φ′（x）>0，
所以φ（x）=lnx+(1)/(x)-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）>φ（1）=0，故方程e^x（lnx+(1)/(x)-1）=0有唯一解为1，
所以存在符合条件的x₀，且仅有一个x₀=1．