已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若a＜0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的

Question

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=(1)/(3)x³+(1)/(2)x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（ax²+x-1）e^x+（2ax+1）e^x=x（ax+2a+1）e^x，
①若-(1)/(2)＜a＜0，当x＜0或x＞-(2a+1)/(a)时，f′（x）＜0；当0＜x＜-(2a+1)/(a)时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0]，[-(2a+1)/(a)，+∞）；单调递增区间为[0，-(2a+1)/(a)]．
②若a=−(1)/(2)，f′（x）=-(1)/(2)x²e^x≤0，
∴f（x）的单调递减区间为R．
③若a＜−(1)/(2)，当x＜-(2a+1)/(a)或x＞0时，f′（x）＜0；当-(2a+1)/(a)＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-(2a+1)/(a)]，[0，+∞）；单调递增区间为[-(2a+1)/(a)，0]．
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=（-x²+x-1）e^x在（-∞，-1]]上单调递减，在[-1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-(3)/(e)，在x=0处取得极大值f（0）=-1．
由g（x）=(1)/(3)x³+(1)/(2)x²+m，得g′（x）=x²+x．
当x＜-1或x＞0时，g′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]]上单调递增，在[-1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）=(1)/(6)+m，在x=0处取得极小值g（0）=m．
∵函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点，
∴

f(−1)＜g(−1)

f(0)＞g(0)

，解得，-(3)/(e)-(1)/(6)＜m＜-1．