e为自然对数的底数，定义函数shx=ex-e-x2，chx=ex+e-x2，若已知函数f（x）为奇函数，且满足f（1）=ch1，当x>0时，f（x）+xf′（x）>shx．则f（x）<

Question

e为自然对数的底数，定义函数shx= (ex-e-x)/(2)，chx= (ex+e-x)/(2)，若已知函数f（x）为奇函数，且满足f（1）=ch1，当x>0时，f（x）+xf′（x）>shx．则f（x）< (chx)/(x)的解集为___．

Answer 1

∵令g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x），
在x>0时，g′（x）>shx>0，
∴g（x）在x>0时单调递增，
且∵g（-x）=g（x），
∴g（x）为偶函数．
∴g（x）在（-∞，0）单调递减．
∵要求f（x）<(chx)/(x)的解集，
∴即要求①x>0时，g（x）<chx和②x<0时，g（x）>chx的解集
∵y=chx也为偶函数，所以只需看①即可，②可由对称所得．
∵g′（x）>（chx）′=shx>0，
∴g（x）的增长速度快于chx，
∵g（1）=f（1）=ch1，
∴x∈（0，1），
∴由①，②得x∈（-1，0）∪（0，1），
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．