已知函数f（x）=ex（x2-2x+a）（其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在（a，f（a））处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上

Question

已知函数f（x）=e^x（x²-2x+a）（其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在（a，f（a））处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=e^x（x²-2x+a）+e^x（2x-2）=e^x（x²+a-2），
当a≥2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的递增区间是R；
当a<2时，f′(x)≥0⇔x2≥2-a⇔x≤-√(2-a)或x≥√(2-a)，
函数f（x）的递增区间是(-∞，-√(2-a))，(√(2-a)，+∞)，递减区间是(-√(2-a)，√(2-a))；
（Ⅱ）f（a）=e^a（a²-a），f'（a）=e^a（a²+a-2），
所以直线l的方程为：y-e^a（a²-a）=e^a（a²+a-2）（x-a），令x=0得到：
截距b=e^a（-a³+a），记g（a）=e^a（-a³+a），g'（a）=e^a（-a³-3a²+a+1），
记h（a）=-a³-3a²+a+1⇒h'（a）=-3a²-6a+1<0（∵1≤a≤3）
所以h（a）递减，h（a）≤h（1）=-2<0，
∴g'（a）<0，即g（a）在区间[1，3]上单调递减，
∴g（3）≤g（a）≤g（1），即截距的取值范围是：[-24e³，0]．