设过曲线f（x）=-ex-x（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线l1，总存在过曲线g（x）=mx-3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围为．

Question

设过曲线f（x）=-e^x-x（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线l₁，总存在过曲线g（x）=mx-3sinx上的一点处的切线l₂，使l₁⊥l₂，则m的取值范围为___．

Answer 1

f（x）=-e^x-x的导数为f′（x）=-e^x-1，
设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，
则过（x₁，y₁）处的切线l₁的斜率为k₁=-e^x₁-1，
g（x）=mx-3sinx的导数为g′（x）=m-3cosx，
过g（x）图象上一点（x₂，y₂）处的切线l₂的斜率为k₂=m-3cosx₂．
由l₁⊥l₂，可得（-e^x₁-1）•（m-3cosx₂）=-1，
即m-3cosx₂=(1)/(ex1+1)，
任意的x₁∈R，总存在x₂∈R使等式成立．
则有y=m-3cosx₂的值域为A=[m-3，m+3]．
y=(1)/(ex1+1)的值域为B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[m-3，m+3]．
即

m-3≤0

m+3≥1

，
解得-2≤a≤3．
故答案为：[-2，3]．