已知实数函数（为自然对数的底数）．（Ⅰ)求函数的单调区间及最小值；（Ⅱ）若≥对任意的恒成立，求实数的值；（Ⅲ）证明：

Question

已知实数 函数 （ 为自然对数的底数）．
（Ⅰ)求函数 的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若 ≥ 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（Ⅲ）证明：

Answer 1

已知实数 函数 （ 为自然对数的底数）．
（Ⅰ)求函数 的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若 ≥ 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（Ⅲ）证明：

（Ⅰ） 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，由 得出函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，从而 ；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中 时的单调性可知 ，即 ，构造函数 ，由导函数分析可得 在 上增，在 上递减，则 ，由 对任意的 恒成立，故 ，得 ；（Ⅲ）先由（Ⅱ） ，即 ，由于 ，从 而由放缩和裂项求和可得：
  .
试题解析：（I）当 ，
由 ， 得单调增区间为 ；
由 ，得单调减区间为  ，                       2分
由上可知                            4分
（II）若 对 恒成立，即 ，
由（I）知问题可转化为 对 恒成立 ．       6分
令  ，   ，
在

作业帮用户 2016-11-25

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