已知函数g（x）=a-x2（1e≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A.0B.1e2+3C.e2-1D.e2+1e2

Question

已知函数g（x）=a-x²（

(1)/(e)≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（　　）

A. 0

B.

(1)/(e2)+3

C. e²-1

D. e²+

(1)/(e2)

Answer 1

由已知，得到方程a-x²=-2lnx⇔-a=2lnx-x²在(1)/(e)≤x≤e上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=(2)/(x)-2x=(2(1-x)(1+x))/(x)，
∵(1)/(e)≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（(1)/(e)）=-2-(1)/(e2)，f（e）=2-e²，
f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）<f（(1)/(e)），
故方程-a=2lnx-x²在[(1)/(e)，e]上有解等价于2-e²≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e²-2]．
即有a的最大值和最小值的和为e²-2+1=e²-1．
故选C．