已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4e；（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；（3）试探究是否存

Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4√(e)；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=(2e)/(x)，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+(e)/(x)）≥2×2√(e)=4√(e)，
当且仅当x=(e)/(x)，即x=√(e)时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4√(e)；（4分）
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）
=2（x-(e)/(x)）=(2(x2−e))/(x)（x＞0），
令F′（x）=0，得x=√(e)（x=-√(e)舍），
∴当0＜x＜√(e)时，F′（x）＜0，F（x）
在（0，√(e)）上单调递减；
当x＞√(e)时，F′（x）＞0，F（x）
在（√(e)+∞）上单调递增．（8分）
∴当x=√(e)时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（√(e)）=e-2eln√(e)=0．
∴F（x）的单调递增区间为（√(e)，+∞），
单调递减区间为（0，√(e)），
最小值为0；（10分）
（3）由（2）知，f（x）与g（x）
的图象有且仅有一个公共点（√(e)，e），
∴猜想：一次函数的图象就是f（x）与g（x）
的图象在点（√(e)，e）处的公切线，
其方程为y=2√(e)x-e．（12分）
下面证明：当x＞0时，f（x）≥2√(e)x-e，
且g（x）≤2√(e)x-e恒成立．
又∵f（x）-（2√(e)x-e）=（x-√(e)）²≥0，
∴f（x）≥2√(e)x-e对x＞0恒成立．
又令G（x）=2√(e)x-e-g（x）=2√(e)x-e-2elnx，
∴G′（x）=2√(e)-(2e)/(x)=(2√(e)(x−√(e)))/(x)，∴当0＜x＜√(e)时，
G′（x）＜0，G（x）在（0，√(e)）上单调递减；
当x＞√(e)时，G′（x）＞0，
G（x）在（√(e)，+∞）上单调递增．
∴当x=√(e)时，G（x）有极小值，也是最小值，
即G（x）_min=G（√(e)）=2e-e-2eln√(e)=0，
∴G（x）≥0，即g（x）≤2√(e)x-e恒成立．
故存在一次函数y=2√(e)x-e，使得当x＞0时，
f（x）≥2√(e)x-e，且g（x）≤2√(e)x-e恒成立．