已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．

Question

已知函数f(x)＝(lnx+k)/(ex)(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）因为函数f(x)＝(lnx+k)/(ex)，所以f′(x)＝((lnx+k)′•ex−(lnx+k)•ex)/(e2x)=((1)/(x)•ex−lnx•ex−k•ex)/(e2x)，
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f^′（1）=0，即(e−e•ln1−ke)/(e2)＝0，解得k=1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)＝(((1)/(x)−lnx−1)ex)/(e2x)，
令g（x）=(1)/(x)−lnx−1，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，
所以当x＞1时，f^′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f^′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．