已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=ex-ax-1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=l

Question

已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e^x-ax-1的定义域为（0，+∞）．
（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=ln（e^x+(e)/(3)x³-1）-lnx，若∀x>0，f（g（x））<f（x），求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=e时，f（x）=e^x-ex-1，f（1）=-1，
f′（x）=e^x-e，可得f′（1）=0，
故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=-1；
（2）f（x）=e^x-ax-1，f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）>0，则f（x）在R上单调递增；
当a>0时，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
则f（x）在（-∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（3）设F（x）=e^x-x-1，则F′（x）=e^x-1，
∵x=0时，F′（x）=0，x>0时，F′（x）>0，
∴F（x）在[0，+∞）递增，
∴x>0时，F（x）>F（0），化简得：e^x-1>x，
∴x>0时，e^x+(e)/(3)x³-1>x，
设h（x）=xe^x-e^x-(e)/(3)x³+1，
则h′（x）=x（e^x-ex），
设H（x）=e^x-ex，H′（x）=e^x-e，
由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）>0，
x<1时，H′（x）<0，
∴x>0时，H（x）的最小值是H（1），
x>0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，
∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，
∴h（x）>h（0）=0，化简得e^x+(e)/(3)x³-1<xe^x，
∴x>0时，x<e^x+(e)/(3)x³-1<xe^x，
∴x>0时，lnx<ln（e^x+(e)/(3)x³-1）<lnx+x，
即0<ln（e^x+(e)/(3)x³-1）-lnx<x，
即x>0时，0<g（x）<x，
当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，
得f（g（x））<f（x）满足条件，
当a>1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，
∴0<x≤lna时，f（g（x））>f（x），与已知∀x>0，f（g（x））<f（x）矛盾，
综上，a的范围是（-∞，1]．