设函数f（x）=exx2-k(2x+lnx)（k为常数，e是自然对数的底数）．（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Question

设函数f（x）=(ex)/(x2)-k((2)/(x)+lnx)（k为常数，e是自然对数的底数）．
（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

（1）当k≤0时，函数f（x）=(ex)/(x2)-k((2)/(x)+lnx)（x>0）．
f′（x）=((x-2)ex)/(x3)-k（-(2)/(x2)+(1)/(x)）=((x-2)(ex-kx))/(x3)，
由于x>0，k≤0，可得e^x-kx>0，
令f′（x）>0，解得x>2．令f′（x）<0，解得0<x<2．
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；在（0，2）上单调递减；
（2）∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴f′（x）=((x-2)ex)/(x3)-k（-(2)/(x2)+(1)/(x)）=0有两个实数根．
化为k=(ex)/(x)，
∴k=(ex)/(x)在（0，2）内存在两个实数根．
设h（x）=(ex)/(x)，x∈（0，2）．则h′（x）=((x-1)ex)/(x2)．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）>0，解得1<x<2；令h′（x）<0，解得0<x<1．
∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增．
∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=(e2)/(2)，h（0）→+∞．
∴e<k<(e2)/(2)．