已知函数f（x）=x-1+aex（∈R，e为∈自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Question

已知函数f（x）=x-1+(a)/(ex)（∈R，e为∈自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

（1）由f（x）=x-1+(a)/(ex)，可得导数f′（x）=1-(a)/(ex)，
①当a≤0时，f′（x）>0，
f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，则f（x）无极值；
②当a>0时，由f′（x）=0，得e^x=a，即x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）<0，x∈（lna，+∞），f′（x）>0，
即有f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；
当a>0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值；
（2）当a=1时，f（x）=x-1+(1)/(ex)，
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+(1)/(ex)，
则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k>1，此时g（0）=1>0，g（(1)/(k-1)）=-1+(1)/(e(1)/(k-1))<0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=(1)/(ex)>0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．