（2014•蓟县一模）已知函数f（x）=2lnx-x2（1）若方程f（x）+m=0在[1e，e]内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）（2）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A

Question

（2014•蓟县一模）已知函数f（x）=2lnx-x²
（1）若方程f（x）+m=0在[(1)/(e)，e]内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求证：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．

Answer 1

（1）由f（x）=2lnx-x²求导得到：
f′(x)＝(2(1−x)(1+x))/(x)，
∵x∈(1)/(e)，e]，故f′（x）在x=1有唯一的极值点，f((1)/(e))＝−2−(1)/(e2)，
f（e）=-2-e²，f（x）_极大值=f（1）=-1，
且知f(e)＜f((1)/(e))，故f（x）=-m在[(1)/(e)，e]内有两个不等的实根满足：−2−(1)/(e2)≤−m＜−1
故m的取值范围为（1，2+(1)/(e2)]．
（2）g′(x)＝(2)/(x)−2x−a，又f（x）-ax=0有两个不同的实根x₁、x₂，则

2inx1−x12−ax1＝0

2lnx2−

x

2 2

−ax2＝0

则a＝(2(lnx1−lnx2))/(x1−x2)−(x1+x2)
于是g′(px1+qx2)＝(2)/(px1+qx2)−2(px1+qx2)-[(2(lnx1−lnx2))/(x1−x2)−(x

作业帮用户 2017-10-03