已知指数函数y=g（x）过点（1，3），函数f(x)＝−g(x)+ng(x)+1是R上的奇函数．（I）求y=g（x）的解析式；（II）求n的值并用定义域判定y=f（x）的单调性；（III）讨论关于x的方程xf（x）=m的解的

Question

已知指数函数y=g（x）过点（1，3），函数f(x)＝(−g(x)+n)/(g(x)+1)是R上的奇函数．
（I）求y=g（x）的解析式；
（II）求n的值并用定义域判定y=f（x）的单调性；
（III）讨论关于x的方程xf（x）=m的解的个数．

Answer 1

（I）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（1）=3得a=3，故g（x）=3^x，…（2分）
∵函数f(x)＝(−g(x)+n)/(g(x)+1)=(−3x+n)/(3x+1)是奇函数
∴f（0）=(−30+n)/(30+1)=0
∴n=1；
∴f（x）=(−3x+1)/(3x+1)
（II）f（x）=(−3x+1)/(3x+1)在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=(−3x1+1)/(3x1+1)-(−3x2+1)/(3x2+1)=(2(2x2−2x1))/((1+2x1)(1+2x2))＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（III）方程xf（x）=m即(−3x+1)/(3x+1)＝(m)/(x)，
分别考察左右两边函数的图象，
当m＞0时，两图象没有交点，即方程xf（x）=m的解的个数为0；
当m=0时，两图象有一个交点，即方程xf（x）=m的解的个数为1；
当m＜0时，两图象有两个交点，即方程xf（x）=m的解的个数为2；