设函数y＝f（x）是定义域在R,并且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,f（1／3）＝1,且当x＞0时,f（x）

Question

设函数y＝f（x）是定义域在R,并且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,f（1／3）＝1,且当x＞0时,f（x）

Answer 1

1、令x=y=0,
f(0+0)=f(0)+f(0),
即f(0)=2f(0)得f(0)=0
2、令x=-y,即y=-x代入得
f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(x)=f(x)+f(-x)移项得
f(-x)=-f(x)为奇函数
3、因为f(1/3)=1,令x=y=1/3代入得
f(1/3+1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2,即f(2/3)=2 (用来替代不等式中的2)
即所求不等式为发f(x)+f(2+x)＜f(2/3)……①
设x1、x2大于0,且0＜x1＜x2,则x2/x1＞0,所以f(x2/x1)＜0
所以f(x2)-f(x1)=f[(x1*(x1/x2)]-f(x1)=f(x1)+f(x2/x1)-f(x1)=f(x2/x1)＜0
即f(x1)＞f(x2),所以f(x)在（0,+∞）上为减函数
再根据f(x+y)=f(x)+f(y)的逆应用,
把f(x)+f(2+x)转化为f(x+x+2)=f(2x+2)
所以f(x)+f(2+x)＜2就可以转换成f(2x+2)＜f(2/3)
根据单调性把①中的f脱掉,得2x+2＞2/3且x＞0,2+x＞0(因为x的定义域要落在
x＞0才符合题意)
综上解得（0,+∞）.