设f（x）=（x-2）2ex+ae-x，g（x）=2a|x-2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（）A.（e22e-1，+∞）B.（e，+∞）C.（1，e）D.

Question

设f（x）=（x-2）²e^x+ae^-x，g（x）=2a|x-2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（　　）

A. （

(e2)/(2e-1)，+∞）

B. （e，+∞）

C. （1，e）

D. （1，

(e2)/(2e-1)）

Answer 1

f（x）=g（x），即（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
①x=2，a=0时，x=2为函数的零点，不合题意；
②x≠2，令t=|x-2|e^x，则t²+a=2at，
x>2，t=（x-2）e^x，t′=（x-1）e^x，在（2，+∞）上单调递增；
x<2，t=（2-x）e^x，t′=（1-x）e^x，在（-∞，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，
∵关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解，
∴t∈（0，e），
令y=t²-2at+a，则

4a2-4a>0

a>0

e2-2ae+a>0

，∴1<a<(e2)/(2e-1)．
故选D．