已知函数fx=aInx-x+1,a∈r（1）求fx的单调区已知函数fx=aInx-x+1,a∈r（1）求fx的单调区间（2）若fx≤0在x∈（0,+∞）上恒成立,求所有实数a的值

Question

已知函数fx=aInx-x+1,a∈r （1）求fx的单调区
已知函数fx=aInx-x+1,a∈r （1）求fx的单调区间 （2）若fx≤0在x∈（0,+∞）上恒成立,求所有实数a的值

Answer 1

f(x)=alnx-x+1
定义域为R
f'(x)=a/x-1=(a-x)/x
当a≤0时,a-x<0,即f'(x)<0恒成立.
∴f(x)递减区间为(0,+∞)
当a>0时,
由f'(x)>0,解得0由f'(x)<0,解得x>a
∴f(x)递增区间为(0,a),递减区间为(a,+∞)
(2)
f(x)≤0在x∈（0,+∞）上恒成立
需f(x)max≤0
根据(1)知
当a>0时,f(x)max=f(a)=alna-a+1
∴alna-a+1≤0
考察函数g(x)=xlnx-x+1
g'(x)=lnx,
0x>1,lnx>0,g(x）递增,
g(x)min=g(1)=0
∴g(x)≥0
那么alna-a+1≤0存在唯一解,
a=1
当a=0时,f(x)=1-x,00,不符合题意.
当a<0时,f(x)递减,且f(x)无最大值,不符合题意.
综上,符合条件的a值只有a=1