已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+(1)/(x)(x＞0)，
∴f（1）=1，f'（1）=2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-1=0；
（II）函数f（x）=x+alnx，f′(x)＝(x+a)/(x)(x＞0)．
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：

∴f（x）的单调减区间为（0，-a），单调增区间为（-a，+∞）．
∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，-a），单调增区间为（-a，+∞）．
（III）由（II）可知，
①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，
且有f(e−(1)/(a))＝e−(1)/(a)−1＜1−1＝0，f（1）=1＞0，
此时函数有零点，不符合题意；
②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；
③当a＜0时，f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
∴当f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．