如果有穷数列，，…，()，满足条件：，，…，，即(i=1，2，…，n)，我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列是项数为不超过2m(m>1，)的“对

Question

如果有穷数列，，…，()，满足条件：，，…，，即(i=1，2，…，n)，我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列是项数为不超过2m(m>1，)的“对称数列”，并使得1，2，，…，依次为该数列中前连续的m项，则数列的前2008项和可以是：①；②；③；④．
其中命题正确的个数为

• A

  1
• B

  2
• C

  3
• D

  4

Answer 1

【分析】由题意由于新定义了对称数列，且已知数列{b_n}是项数为不超过2m(m>1，m∈N^*)的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列{b_n}的前2008项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和在利用减法的到需要的前2008项的和，即可判断．

因为数列{b_n}是项数为不超过2m(m>1，m∈N^*)的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
故数列{b_n}的前2008项可以是：①1，2，2²，2³…，2¹⁰⁰³，2¹⁰⁰³，…，2²，1．
所以前2008项和S₂₀₀₈=2×=2(2¹⁰⁰⁴-1)，所以①②错；
对于 ③1，2，2²…2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1，
1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比数列的求和公式可以得：s₂₀₀₈=3•2^m-1-2^2m-2009-1，所以③正确；
对于④1，2，2²，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1，1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：
S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1，故④正确．
故选B.

【点评】此题考查了学生对于新题意，新定义的理解，还考查了等比数列的求和公式及学生的计算能力．