设周期函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，周期为4．又limx→0f(1)−f(1−x)2x=-1，则曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率为（）A．12B．0C．-1D．-2

Question

设周期函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，周期为4．又

lim

x→0

(f(1)−f(1−x))/(2x)=-1，则曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率为（　　）

A．(1)/(2)
B．0
C．-1
D．-2

Answer 1

由函数导函数的定义知：
f′(x0)＝

lim

x→x0

(f(x+x0)−f(x))/(x0)
∴

lim

x→0

(f(1)−f(1−x))/(2x)=(1)/(2)

lim

x→0

(f(1)−f(1−x))/(x)=(1)/(2)f′(1)
由已知得：

lim

x→0

(f(1)−f(1−x))/(2x)＝−1
∴f′（1）=-2
∵f（x）在（-∞，+∞）上是以4为周期的周期函数，
∴f（x+4）=f（x）
∵f（x）在（-∞，+∞）上是可导的
且若f（x）是可导周期函数，则f′（x）也是周期函数
∴等式两边同时求导
∴f′（x+4）=f′（x）
令x=1
∴f′（5）=f′（1）=-2
即曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率f′（5）=-2．
故选：D