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设周期函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，周期为4．又limx→0f(1)−f(1−x)2x=-1，则曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率为（）A．12B．0C．-1D．-2
题目详情
设周期函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，周期为4．又
=-1，则曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率为（ ）
A．
B．0
C．-1
D．-2
| lim |
| x→0 |
| f(1)−f(1−x) |
| 2x |
A．
| 1 |
| 2 |
B．0
C．-1
D．-2
▼优质解答
答案和解析
由函数导函数的定义知：
f′(x0)＝
∴
=
=
f′(1)
由已知得：
＝−1
∴f′（1）=-2
∵f（x）在（-∞，+∞）上是以4为周期的周期函数，
∴f（x+4）=f（x）
∵f（x）在（-∞，+∞）上是可导的
且若f（x）是可导周期函数，则f′（x）也是周期函数
∴等式两边同时求导
∴f′（x+4）=f′（x）
令x=1
∴f′（5）=f′（1）=-2
即曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率f′（5）=-2．
故选：D
由函数导函数的定义知：
f′(x0)＝
| lim |
| x→x0 |
| f(x+x0)−f(x) |
| x0 |
∴
| lim |
| x→0 |
| f(1)−f(1−x) |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| lim |
| x→0 |
| f(1)−f(1−x) |
| x |
| 1 |
| 2 |
由已知得：
| lim |
| x→0 |
| f(1)−f(1−x) |
| 2x |
∴f′（1）=-2
∵f（x）在（-∞，+∞）上是以4为周期的周期函数，
∴f（x+4）=f（x）
∵f（x）在（-∞，+∞）上是可导的
且若f（x）是可导周期函数，则f′（x）也是周期函数
∴等式两边同时求导
∴f′（x+4）=f′（x）
令x=1
∴f′（5）=f′（1）=-2
即曲线y=f（x）在点（5，f（5））处的切线斜率f′（5）=-2．
故选：D
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