设f(x）是以l为周期的连续函数,证明∫(上面a+l;下面a)f(x）dx的值与a无关这是一个定积分的问题

Question

设f(x）是以l为周期的连续函数,证明∫(上面a+l;下面a)f(x）dx的值与a无关
这是一个定积分的问题

Answer 1

这是定积分的一个基本证明题：
证明：∫(a,a l)f(x)dx=∫(a,0)f(x)dx ∫(0,l)f(x)dx ∫(I,a l)f(x)dx
对第3个积分,设t=x-I,代入得：
∫(I,a l)f(x)dx=∫(0,a)f(t I)dt=∫(0,a)f(t)dt=-∫(a,0)f(t)dt,与第1个积分抵消
所以：∫(a,a l)f(x)dx=∫(0,l)f(x)dx ,右端积分与a无关.