设f（x）是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫x0f(t)dt是（）A．连续的奇函数B．连续的偶函数C．在x=0间断的奇函数D．在x=0间断的偶函数

Question

设f（x）是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则

∫

x  0

f(t)dt是（　　）

A．连续的奇函数
B．连续的偶函数
C．在x=0间断的奇函数
D．在x=0间断的偶函数

Answer 1

设g（x）=

∫

x 0

f(t)dt，
∵f（-x）=-f（x）
则g（-x）=

∫

−x 0

f(t)dt

令u＝−t

.

-

∫

x 0

f(−u)du=

∫

x 0

f(u)du＝g(x)
∴g（x）是偶函数
又由f（x）在[0，x]可积，知f（x）在[0，x]是有界的．（不妨假设f（x）在x=0有定义以及x＞0）
∴∃M＞0，使得|f（x）|≤M
∴g（x）在x=0处的增量|△g（x）|=|g（0+△x）-g（0）|=|

∫

△x 0

f(t)dt|≤M•△x
∴

lim

△x→0

△g(x)＝0＝g(0)
∴g（x）在x=0处连续
故选：B．