由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx=4cos3x-3cosx可见

Question

由倍角公式cos2x=2cos ² x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos ² x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos ³ x-cosx-2（1-cos ² x）cosx
=4cos ³ x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P _n （t），使得cosnx=P _n （cosx），这些多项式P _n （t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin ³ x；
（II）请求出P ₄ （t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos ³ x-3cosx，求出sin18°的值．

Answer 1

（I）证明：∵ sin3x=-cos((3π)/(2) -3x)=-cos[3((π)/(2) -x)]=-[4co s 3 ((π)/(2) -x)-3cos((π)/(2) -x)]
=-（4sin ³ x-3sinx）=3sinx-4sin ³ x，故等式成立．
（II）cos4x=cos（2•2x）=2cos ² 2x-1=2（2cos ² x-1） ² -1=2（4cos ⁴ x-4cos ² x+1）-1
=8cos ⁴ x-8cos ² x+1．
（III）∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos ³ 18°-3cos18°，
∴4sin ² 18°+2sin18°-1=0，∴ sin18°=(5-1)/(4) ．