若A是n阶矩阵,f(x)是一个常数项不为零的多项式,且满足f(A)=0.证明A可逆.并求A的逆矩阵

Question

若A是n阶矩阵,f(x)是一个常数项不为零的多项式,且满足f(A)=0.证明A可逆.并求A的逆矩阵

Answer 1

由条件,f(x)可以表示成
f(x) = x g(x) + c
其中多项式g(x)和常数项c都非零
于是
0 = f(A) = A g(A) +cI
得到
A * [-g(A)/c] = I
所以
A^{-1} = -g(A)/c
如果只需要判断可逆的话更方便,除了上述方法,还可以看特征值,因为A的所有特征值λ都满足f(λ)=0,而f(0)=c,所以A没有零特征值