已知函数f(x)=lnx+1x+ax，其中x＞0，常数a∈R（1）若函数f（x）在[1，+∞），上是单调函数，求a的取值范围（2）若函数f（x）在[1，+∞）有最大值2e（其中e为无理数，

Question

已知函数 f(x)=lnx+(1)/(x) +ax ，其中x＞0，常数a∈R
（1）若函数f（x）在[1，+∞），上是单调函数，求a的取值范围
（2）若函数f（x）在[1，+∞）有最大值 (2)/(e) （其中e为无理数，约为2.71828），求a的值

Answer 1

（1）∵ f(x)=lnx+(1)/(x) +ax f / (x)=(1)/(x) -(1)/(x2) +a
若 f / (x)=(1)/(x) -(1)/(x2) +a≥0 对x∈[1，+∞）恒成立，则 a≥(1)/(x2) -(1)/(x) 对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若 f / (x)=(1)/(x) -(1)/(x2) +a≤0 对x∈[1，+∞）恒成立，则 a≤(1)/(x2) -(1)/(x) 对x∈[1，+∞）恒成立，∴ a≤-(1)/(4)
∴当函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数时，
∴所求a的取值范围为： a≥0或a≤-(1)/(4) ；

（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[1，+∞）无最大值．
当 a≤-(1)/(4) 时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以由 f(1)=(2)/(e) ，得 a=(2)/(e) -1＜-(1)/(4)
当 -(1)/(4) ＜a＜0 时，由 f / (x)=(1)/(x) -(1)/(x2) +a＞0 得ax ² +x-1＞0，则α＜x＜β
（其中 α=(-1+1+4a)/(2a) ＞1，β=(-1-1+4a)/(2a) ＞-(1)/(2a) ＞2 ）
∴函数f（x）在[1，α]上单调递减，在[α，β]上单调递增，在[β，+∞]上单调递减，
由 f(1)=(2)/(e) ，得 a=(2)/(e) -1＜-(1)/(4) ，不符要求．
由 f(β)=(2)/(e) ，得 lnβ+(1)/(β) +aβ=(2)/(e) ，
又∵ a β 2 +β-1=0，∴aβ=(1)/(β) -1 代入得 lnβ+(2)/(β) -1=(2)/(e)
设函数 h(x)=lnx+(2)/(x) -1-(2)/(e) (x＞2) ，则 h / (x)=(1)/(x) -(2)/(x2) =(x-2)/(x2) ＞0
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（e）=0
∴β=e，所以 a=(1-β)/(β2) =(1-e)/(e2) ∴ 当a=(2)/(e) -1或a=(1-e)/(e2) 时，
函数f（x）在[1，+∞）有最大值 (2)/(e) ．