将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

Question

将函数f（x）=e ^x 展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

Answer 1

∵f（x）=e ^x ，
∴f′（x）=f″（x）=f ⁿ （x）=e ^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=f ⁿ （0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|f ⁿ （x）|=|e ^x |≤e ^r （n=1，2）
所以函数e ^x 可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e ^x 在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是 e x =1+x+(x2)/(2!) +(x3)/(3!) ++(xn)/(n!) + ．