我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…请结合

Question

我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…
请结合二项式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
证明：
（1）

n

r＝0

(

C

r n

)2＝

C

n 2n

；  
（2）

m

r＝0

(

C

r n

C

m−r n

)＝

C

m 2n

．

Answer 1

证明：（1）考虑等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，等式左边xⁿ的系数是

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n−1 n

+

C

2 n

C

n−2 n

+…+

C

n n

C

0 n

＝(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+…+(

C

n n

)2=

n

r＝0

(

C

r n

)2，
等式右边xⁿ的系数是

C

n 2n

，根据对应项系数相等得，

n

r＝0

(

C

r n

)2=

C

n 2n

．（5分）
（2）仍考虑等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，
等式左边x^m的系数是

C

0 n

C

m n

+

C

1 n

C

m−1 n

+

C

2 n

C

m−2 n

+…+

C

m n

C

0 n

=

m

r＝0

(

C

r n

C	m−r n 作业帮用户 2016-12-12 问题解析 （1）利用二项式定理系数的性质，求出xn的系数，即可得到结论． （2）利用已知关系式，求出等式两边xm的系数，即可得到结果． 名师点评 本题考点： 二项式定理的应用． 考点点评： 本题主要考查二项式定理等基础知识，考查推理论证能力． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议