设f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)求证：在[0,1]上至少存在一点ξ使f(ξ+1/n)=f(ξ)（n≥2正整数）

Question

设f(x)在[0,1]上连续 且f(0)=f(1) 求证：在[0,1]上至少存在一点ξ使f(ξ+1/n)=f(ξ)（n≥2正整数）

Answer 1

不妨令f(0)=f(1)=0
考察[0,1-1/n]上的连续函数
g(x)=f(x+1/n)-f(x)
那么只需证明g(x)有零点.而由介值定理,我们只需要证明g(x)的取值时正时负即可（当然,等于0更好）.
我们有g(0)=f(1/n),g(1-1/n)=-f(1-1/n)
不妨令这两个值同号（不然我们已经证完）,再不妨令g(0)>0,g(1-1/n)>0
即有f(1/n)>0,f(1-1/n)<0（这种假设下有n>2）,那么在k/n,k=1,...,n-2这n-2个n等分点上一定有一个点x0,使得f(x0)>0且f(x0+1/n)<=0,那么有g(x0)<0.
那么我们证明了g(x)取值时正时负,于是有零点.