设向量i，j，k是不共面的三个向量，则下列各组向量不能作为空间向量基底的是（）A．p=i-2j+k

Question

设向量

i

，

j

，

k

是不共面的三个向量，则下列各组向量不能作为空间向量基底的是（　　）

A．

p

=

i

-2

j

+

k

，

q

=-

i

+3

j

+2

k

，

r

=-3

i

+7

数学

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优质解答

A．令 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，∴a（1，-2，1）+b（-1，3，2）+c（-3，7，0）=（0，0，0），可得

a-b-3c=0

-2a+3b+7c=0

a+2b=0

，消去a化为b+c=0，令b=-1，则c=1，a=2．
∴存在一组非0常数a=2，b=-1，c=1使得 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，
故

p

，

q

，

r

是共面的三个向量，故不能作为空间向量的基底．
B．令 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，即a（1，1，-1）+b（2，3，-5）+c（-7，18，22）=（0，0，0）．
可得

a+2b-7c=0

a+3b+18c=0

-a-5b+22c=0

，解得a=b=c=0．
故

p

，

q

，

r

是三个不共面的三个向量，可以作为空间向量的基底．
同理C，D可以作为空间向量的基底．
综上可知：只有A不能作为基底．
故选A．

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Answer 1

A．令 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，∴a（1，-2，1）+b（-1，3，2）+c（-3，7，0）=（0，0，0），可得

a-b-3c=0

-2a+3b+7c=0

a+2b=0

，消去a化为b+c=0，令b=-1，则c=1，a=2．
∴存在一组非0常数a=2，b=-1，c=1使得 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，
故

p

，

q

，

r

是共面的三个向量，故不能作为空间向量的基底．
B．令 a

p

+b

q

+c

r

=

0

，即a（1，1，-1）+b（2，3，-5）+c（-7，18，22）=（0，0，0）．
可得

a+2b-7c=0

a+3b+18c=0

-a-5b+22c=0

，解得a=b=c=0．
故

p

，

q

，

r

是三个不共面的三个向量，可以作为空间向量的基底．
同理C，D可以作为空间向量的基底．
综上可知：只有A不能作为基底．
故选A．