如图，在三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=22，则此正三棱锥外接球的体积是（）A.12πB.43πC.433πD.123π

Question

如图，在三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2√(2)，则此正三棱锥外接球的体积是（　　）
A. 12π
B. 4√(3)π
C. (4√(3))/(3)π
D. 12√(3)π

Answer 1

∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．
∴侧棱长为：2，
∴R=(1)/(2)×2√(3)＝√(3)，
∴正三棱锥外接球的体积是(4π)/(3)R3=4√(3)π．
故选：B．