四面体C-ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°．E、F，Q分别是BC、AC、BD的中点．（1）求证：AC⊥BD；（2）在AC上确定一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；（3）若CQ为底面ABD的一条斜线段，请问CA，CB有

Question

四面体C-ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°． E、F，Q分别是BC、AC、BD的中点．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）在AC上确定一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；
（3）若CQ为底面ABD的一条斜线段，请问CA，CB有可能相等吗？证明你的结论．

Answer 1

（1）连接CQ，AQ∵CB=CD，AB=AD且Q是BD的中点
∴BD⊥AQBD⊥CQ∵CQ∩AQ=Q
∴BD⊥平面AQC，∴BD⊥AC
（II）当M为CF的中点，即CM=(1)/(4)CA时，可得BF∥EM
∵BF⊈平面MED，ME⊆平面MED
∴BF∥平面MED
（3）假设CA=CB，则CA=CB=CD，过C作CO⊥平面ABD，则O为△ABD的外心，即OA=OB=OD，
又△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，
∴O为BD的中点从而O与Q重合
∴CQ⊥平面ABD 与CQ为底面ABD的一条斜线段矛盾
故CA，CB不可能相等