从t的取值[0,2π]积分∫[t-sint)^2]sintdt为什么我算出来为0?可以把步骤列出来我看看嘛

Question

从t的取值[0,2π]积分∫[t-sint)^2]sintdt 为什么 我 算出来为0?可以 把步骤列出来我看看嘛

Answer 1

∫[t-sint)^2]sintdt =∫[t^2sint-2tsin^2(t)+sin^3(t)]dt=∫t^2sintdt-∫2tsin^2(t)dt+∫sin^3(t)dt
t取值[0,2π]时,积分sint、sin^3(t)均为0
故上式=-∫2tsin^2(t)dt=∫t[-2sin^2(t)]dt=∫t(cos2t-1)dt=-∫tdt+∫tcos2tdt（Ps：此时t取[0,2π]）
=-2π^2+∫(t+π)cos2tdt（Ps：此时t取[-π,π]）
=-2π^2+∫tcos2tdt++∫πcos2tdt
=-2π^2（PS：t取[-π,π]时,t为奇函数,cos2t为周期偶函数,∫tcos2tdt=0,∫cos2tdt=0）