如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求

Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∴3=a×1×（-3），
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）存在．
∵抛物线的对称轴为：直线x=(-1+3)/(2)=1，
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q₁，
∵OA=OQ₁，BO⊥AQ₁，
∴当Q₁B=AB时，设Q（1，q），
∴1+（q-3）²=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．
当Q₂A=Q₂B时，设Q₂的坐标为（1，m），∴2²+m²=1²+（3-m）²，
∴m=1，
∴Q₂（1，1）；
当Q₃A=AB时，设Q₃（1，n），
∴2²+n²=1²+3²，
∴n=±√(6)，
∴Q₃（1，√(6)），Q₄（1，-√(6)）．
∴符合条件的Q点坐标为Q₁（1，0），Q₂（1，1），Q₃（1，√(6)），Q₄（1，-√(6)）．