已知直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点，且点M（1，t），（t＞0）在该椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：x-2y+m=0与该椭圆相交于不同两点A，B，证明：直线MA，MB的倾斜角互补

Question

已知直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点，且点M（1，t），（t＞0）在该椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：x-2y+m=0与该椭圆相交于不同两点A，B，证明：直线MA，MB的倾斜角互补．

Answer 1

（1）由题意得，，解得a=2，b=．
∴要求的椭圆方程为．
（2）∵点M（1，t），（t＞0）在该椭圆上，∴，解得t=，∴M．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又直线l经过A、B，
则k_MA==，k_MB==．
联立，消去y化为4x²+2mx+m²-12=0，
由于直线l与椭圆相较于A、B两点，∴△=4m²-16（m²-12）＞0，化为m²＜16，解得-4＜m＜4．
由根与系数的关系可得：，．
∴k_MA+k_MB=
===0．
∴k_MA+k_MB=0号，
故直线MA、MB的倾斜角互补．