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椭圆的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若角ABF为90度,求离心率
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椭圆的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若角ABF为90度,求离心率
▼优质解答
答案和解析
|FA|=a+c,
|BA|=√（b^2+a^2)=√（a^2+a^2-c^2)=√（2a^2-c^2),
|FB|=√（c^2+b^2)=a,
∵〈FBA=90°,
∴根据勾股定理,
AF^2=BF^2+AB^2,
(a+c)^2=a^2+2a^2-c^2,
2a^2-2ac-2c^2=0,
a^2-ac-c^2=0,
两边同除以a^2,
1-c/a-(c/a)^2=0,
离心率e=c/a,
e^2+e-1=0,
∴e=(√5-1）/2.
|BA|=√（b^2+a^2)=√（a^2+a^2-c^2)=√（2a^2-c^2),
|FB|=√（c^2+b^2)=a,
∵〈FBA=90°,
∴根据勾股定理,
AF^2=BF^2+AB^2,
(a+c)^2=a^2+2a^2-c^2,
2a^2-2ac-2c^2=0,
a^2-ac-c^2=0,
两边同除以a^2,
1-c/a-(c/a)^2=0,
离心率e=c/a,
e^2+e-1=0,
∴e=(√5-1）/2.
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