已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与双曲线右支交于A、B,若向量AF=2FB（向量）,则k=?

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与双曲线右支交于A、B,若向量AF=2FB（向量）,则k=?

Answer 1

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
离心率e=c/a=2 ,c=2a,b²=c²-a²=3a²
双曲线方程可化为：
x²-y²/3=a²
右焦点F(2a,0),
直线AB：y=k(x-2a),k≠0,即x=1/ky+2a
令1/k=t>0,AB:x=ty+2a 代入 x²-y²/3=a²
3(ty+2a)²-y²-3a²=0
即(3t²-1)y²+12aty+9a²=0 (3t²-1≠0)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=-12at/(3t²-1),y1y2=9a²/(3t²-1) (#)
∴向量AF=（2a-x1,-y1),向量FB=(x2-2a,y2)
∵向量AF=2FB（向量）
∴-y1=2y2代入（#）得：
-y2=-12at/(3t²-1) ①-2y²2=9a²/(3t²-1) ②
①²：y²2=144a²t²/(3t²-1)²代入②
∴-288a²t²/(3t²-1)²=9a²/(3t²-1)
∴-32t²=3t²-1
∴t²=1/35 ,t=1/√35
∴k=√35